Senin, 03 September 2018

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Pada materi grafik fungsi kuadrat telah disinggung bahwa kalau digambarkan pada bidang koordinat, grafik fungsi kuadrat akan berbentuk sebuah parabola dengan karakteristik tergantung dari koefisien-koefisien fungsi kuadrat tersebut.

Berikut beberapa karakteristik yang perlu diperhatikan dalam mensketsa grafik fungsi kuadrat.
1.  a > 0 : parabola terbuka ke atas
2.  a < 0 : parabola terbuka ke bawah
3.  D > 0 : memotong sumbu-x di dua titik
4.  D = 0 : menyinggung sumbu-x
5.  D < 0 : tidak memotong sumbu-x

Dari karakteristik diatas, kita akan memperoleh citra bergairah wacana grafik fungsi kuadrat tersebut, yang tentu saja akan memudahkan dalam mensketsa nantinya.

Unsur-unsur grafik fungsi kuadrat

Diberikan fungsi kuadrat \(\mathrm{y=f(x)=ax^{2}+bx+c}\)

1. Titik potong sumbu-X
Titik potong sumbu-x diperoleh pada dikala \(\mathrm{y = 0}\). $$\mathrm{\left ( x_{1},0 \right )\;dan\;\left ( x_{2},0 \right )}$$ Dengan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0

2. Titik potong sumbu-Y
Titik potong sumbu-y diperoleh pada saat \(\mathrm{x = 0}\).
y = f(0) = a(0)2 + b(0) + c = c  $$\mathrm{\left ( 0,c \right )}$$
3. Persamaan sumbu simetri
Persamaan sumbu simetri yakni garis yang membagi parabola menjadi 2 bab yang simetris. $$\mathrm{x=\frac{-b}{2a}}$$
4. Nilai ekstrim
Nilai ekstrim disebut juga nilai maksimum atau minimum fungsi. Jika nilai ekstrim dinyatakan dengan y, maka :  $$\mathrm{y=\frac{-D}{4a}}$$
5. Titik puncak
Titik puncak atau titik balik yakni titik dimana fungsi tersebut mencapai nilai maksimum atau minimum. $$\mathrm{P \left (\frac{-b}{2a} ,\frac{-D}{4a}  \right )}$$


 telah disinggung bahwa kalau digambarkan pada bidang koordinat Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat


Catatan :
  1. Jika D = 0, maka titik potong sumbu-x dan klimaks berada pada titik yang sama, sehingga cukup dicari salah satunya saja.
  2. Jika D < 0, grafik tidak memiliki titik potong sumbu-x.
  3. Jika b = 0, maka titik potong sumbu-y dan klimaks berada pada titik yang sama, sehingga cukup dicari salah satunya saja.

Contoh 1
Sketsalah grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=x^{2}-4x+3}\)

Jawab :
a = 1 > 0 (parabola terbuka ke atas)
b = −4
c = 3

D = b2 − 4ac
D = (−4)2 − 4.1.3 = 4
D = 4
Karena D > 0, maka parabola memotong sumbu-x di dua titik.

Titik potong sumbu-x    ⇒ y = 0
x2 − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0
x = 1 atau x = 3
⇒  (1, 0) dan (3, 0)

Titik potong sumbu-y  ⇒  x = 0
(0, c) ⇒ (0, 3)

Persamaan sumbu simetri
x = \(\mathrm{\frac{-b}{2a}}\) = \(\mathrm{\frac{-(-4)}{2.1}}\) = 2
x = 2

Nilai ekstrim
y = \(\mathrm{\frac{-D}{4a}}\) = \(\mathrm{\frac{-4}{4.1}}\)  = −1
y = −1

Titik puncak
\(\mathrm{P\left ( \frac{-b}{2a},\frac{-D}{4a} \right )}\) ⇒  (2, −1)

Lukis titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, kemudian hubungkan sehingga membentuk sebuah parabola.
 telah disinggung bahwa kalau digambarkan pada bidang koordinat Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat


Contoh 2
Gambarlah grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=-x^{2}-4x-4}\)

Jawab :
a = −1 < 0 (parabola terbuka ke bawah)
b = −4
c = −4

D = b2 − 4ac
D = (−4)2 − 4.(−1).(−4)
D = 0
Karena D = 0, maka parabola menyinggung sumbu-x, mengakibatkan titik potong sumbu-x dan klimaks berada pada titik yang sama.

Titik potong sumbu-x  ⇒  y = 0
−x2 − 4x − 4 = 0
x2 + 4x + 4 = 0
(x + 2)(x + 2) = 0
x = −2
⇒  (−2, 0)

Karena titik potong sumbu-x dan klimaks sama, yaitu (−2, 0), maka diperoleh :
Persamaan sumbu simetri : x = −2
Nilai ekstrim : y = 0

Titik potong sumbu-y  ⇒  x = 0
 (0, c) ⇒ (0, 4)

Karena untuk menggambar parabola minimal diharapkan tiga buah titik, untuk itu kita sanggup memilih titik-titik bantu disekitar sumbu simetri (x = −2).

Untuk x = −1
y = f(−1) = −(−1)2 − 4(−1) − 4 = −1
⇒  (−1, −1)

Untuk x = −3
y = f(−3) = −(−3)2 − 4(−3) − 4 = −1
⇒  (−3, −1)

Lukis titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, kemudian hubungkan sehingga membentuk sebuah parabola.
 telah disinggung bahwa kalau digambarkan pada bidang koordinat Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat



Contoh 3
Gambarlah grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=x^{2}+1}\)

Jawab :
a = 1 > 0  (parabola terbuka ke atas)
b = 0  (titik potong sumbu-y = titik puncak)
c = 1

D = b2 − 4ac
D = (0)2 − 4.1.1\
D = −4
Karena D < 0 maka parabola tidak memiliki titik potong sumbu-x.

Titik potong sumbu-y
(0, c) ⇒ (0, 1)

Karena titik potong sumbu-y dan klimaks sama yaitu : (0, 1), maka diperoleh :
Persamaan sumbu simetri : x = 0
Nilai ekstrim : y = 1

Titik-titik bantu :

Untuk x = 1
y = f(1) = (1)2 + 1 = 2
⇒  (1, 2)

Untuk x = 2
y = f(2) = (2)2 + 1 = 5
⇒  (2, 5)

Untuk x = −1
y = f(−1) = (−1)2 + 1 = 2
⇒  (−1, 2)

Untuk x = −2
y = f(−2) = (−2)2 + 1 = 5
⇒  (−2, 5)

Catatan :
Dengan mencerminkan titik-titik (1, 2) dan (2, 5) ke sumbu simetri (x = 0), maka akan diperoleh titik-titik (−1, 2) dan (−2, 5). Makara tidak harus dicari satu per satu menyerupai cara diatas.

Selanjutnya, dengan menghubungkan titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, maka akan terbentuk sebuah parabola sebagai berikut :
 telah disinggung bahwa kalau digambarkan pada bidang koordinat Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat


Grafik fungsi diatas merupakan salah satu teladan grafik fungsi definit positif, dimana grafiknya tidak memotong sumbu-x dan untuk setiap nilai x, grafiknya selalu berada diatas sumbu-x.




Sumber http://smatika.blogspot.com


EmoticonEmoticon